Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E為AD上一點，以BE為一邊且在BE下方作等邊△BEF，連接CF.

(1)求證：AE＝CF；

(2)求∠ACF的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠ACF＝90°.

【解析】

（1）根據△ABC是等邊三角形，得出AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，再根據△BEF是等邊三角形，得出EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，從而求出∠ABE=∠CBF，最后根據SAS證出△ABE≌△CBF，即可得出AE=CF；

（2）根據△ABC是等邊三角形，AD是∠BAC的角平分線，得出∠BAE=30°，∠ACB=60°，再根據△ABE≌△CBF，得出∠BCF=∠BAE=30°，從而求出∠ACF的度數．

(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABE＋∠EBC＝60 °.

∵△BEF是等邊三角形，

∴EB＝BF，∠CBF＋∠EBC＝60 °.

∴∠ABE＝∠CBF.

在△ABE和△CBF中， ，

∴△ABE≌△CBF(SAS)．

∴AE＝CF；

(2)∵等邊△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，

∴∠BAE＝∠BAC=30 °，∠ACB＝60°.

∵△ABE≌△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝30 °.

∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝30 °＋60 °＝90 °.