Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點，F為CD上一點，CD＝4CF，下列結論：

（1）∠BAE＝30°；

（2）AE⊥EF；

（3）AE＝2EF,其中正確的個數為（　　）

A.0個B.1個C.2個D.3個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形性質、相似三角形應用以及三角函數逐一求證即可

解：如圖所示：

（1））∠BAE＝30°是錯誤的，其原因如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°

又∵E是BC的中點，

∴BE＝CE＝BC＝AB，

又∵在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，

tan30°＝，

∴

∴∠BAE＜30°，

∴（1）不正確；

（2）AE⊥EF是正確的，其原因如下：

∵CD＝4CF，

∴CD＝2CE，

∵，∠B＝∠C＝90°，

∴△ABE∽△ECF，

∴∠BAE＝∠CEF，

又∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠AEB+∠CEF＝90°，

又∵∠BEA+∠AEF+∠CEF＝180°，

∴∠AEF＝90°，

∴AE⊥EF，

∴（2）正確．

（3）AE＝2EF正確，其原因如下：

∵由（2）可知△ABE∽△ECF，

∴

∴AE＝2EF，

所以③正確；

綜合所述，（2）（3）正確．

故選：C．