Question

【題目】閱讀資料：我們把頂點在圓上，并且一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如下左圖∠ABC所示。

同學們研究發現：P為圓上任意一點，當弦AC經過圓心O時，且AB切⊙O于點A，此時弦切角∠CAB=∠P（圖甲）

證明：∵AB切⊙O于點A， ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直徑， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P

問題拓展：若AC不經過圓心O（如圖乙），該結論:弦切角∠CAB=∠P還成立嗎？

請說明理由。

知識運用：如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，經過點A的⊙O與BC切于點D，與AB、AC分別相交于E、F。 求證：EF∥BC。

Answer 1

【答案】（1）成立；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：問題拓展：首先連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD，由圓周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直徑，AB切圓于點A，易證得∠CAB=∠CAD，繼而證得結論；

知識運用：連接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分線，⊙O與BC切于點D，可得∠FDC=∠EAD，又由圓周角定理可得∠EAD=∠EFD，繼而證得結論．

試題解析：問題拓展：成立．

如圖3，連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD，

則∠D=∠P，

∵AD是直徑，

∴∠D+∠CAD=90°，

又∵AB切圓于點A，

∴∠CAB+∠CAD=90°，

∴∠CAB=∠CAD，

而∠CAD=∠P，

∴∠CAB=∠P；

知識運用：如圖4，連接DF，

∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，

∴∠EAD=∠DAC，

∵⊙O與BC切于點D，

∴∠FDC=∠DAC，

∴∠FDC=∠EAD，

∵在⊙O中∠EAD=∠EFD，

∴∠FDC=∠EFD，

∴EF∥BC．