Question

12．如圖，等邊△ABO在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的圖象經過AB的中點D，交OB于E．
（1）求直線OB的解析式及k值；
（2）求△BDE的面積．

Answer 1

分析 （1）過點B作BC⊥x軸于點C，則OC=AC=2，根據等邊三角形的性質求得OC和BC的長，得到點B的坐標，然后根據待定系數法求得直線OB的解析式；根據中點的性質求得AB的中點D的坐標，代入y=$\frac{k}{x}$，即可求得k的值；
（2）先將直線OB的解析式與反比例函數的解析式聯立求出E點坐標，求出BE、BD的長，再作EF⊥BD于F，求出EF，然后根據三角形面積公式求解即可．

解答 解：（1）過點B作BC⊥x軸于點C，
∵△ABO是等邊三角形，點A的坐標為（4，0），
∴OC=AC=2．
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴B（2，2$\sqrt{3}$），
設直線OB的函數解析式為y=mx，則2$\sqrt{3}$=2m，
∴m=$\sqrt{3}$．
∴直線OB的函數解析式為y=$\sqrt{3}$x；
∵D為AB的中點，
∴D（3，$\sqrt{3}$），
∴k=3$\sqrt{3}$；

（2）將y=$\sqrt{3}$x代入y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$，得$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$，
解得x=±$\sqrt{3}$（負值舍去），
則E（$\sqrt{3}$，3），
∵B（2，2$\sqrt{3}$），D（3，$\sqrt{3}$），
∴BE=$\sqrt{（2-\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}-3）^{2}}$=4-2$\sqrt{3}$，BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$OA=2．
如圖，作EF⊥BD于F，則EF=BE•sin∠B=（4-2$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$-3，
∴△BDE的面積=$\frac{1}{2}$BD•EF=$\frac{1}{2}$×2×（2$\sqrt{3}$-3）=2$\sqrt{3}$-3．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了等邊三角形的性質，勾股定理，三角形的面積．利用待定系數法求出函數的解析式是解題的關鍵．