Question

如圖，點O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使FC=EC，連接DF交BE的延長線于點H，連接OH交DC于點G，連接HC．則以下四個結論中正確結論為（　　）  
①BF=2OH；②∠CHF=45°；③BC=4GH；④DH²=HE•HB．

A．①③④

B．①②④

C．①②③

D．②③④

Answer 1

分析：①首先可證得△BCE≌△DCF，繼而可求得∠EHF=90°，利用等腰三角形中的三線合一的性質，可證得DH=FH，又由OB=OD，即可證得OH是△DBF的中位線，根據三角形中位線的性質，即可判定BF=2OH；
②由①易求得∠HFC=67.5°，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，易證得CH=HF，即可求得∠HCF=∠HFC，繼而求得∠CHF=45°；
③由三角形中位線的性質，可證得GH=

1

2

CF=

1

2

CE＜

1

2

CG，CG=

1

2

BC，可得BC＞4GH；
④易證得△DHE∽△BHD，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得DH²=HE•HB．

解答：解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF EC=FC

，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CDF=∠CBE，
∵∠CDF+∠F=90°，
∴∠CBE+∠F=90°，
∴∠BHF=90°，
∴BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴DH=HF，
∵OB=OD，
∴OH是△DBF的中位線，
∴OH∥BF
∴OH=

1

2

BF，
即BF=2OH；
故正確；
②∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠EFC=45°，
∵∠HFE=22.5°，
∴∠HFC=∠HFE+∠EFC=67.5°，
∵DH=FH，∠DCF=90°，
∴CH=FH=

1

2

DF，
∴∠HCF=∠HFC=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠HFC=45°；
故正確；
③∵OH是△BFD的中位線，
∴OG，GH分別是△DBC與△DCF的中位線，
∴DG=CG=

1

2

BC，GH=

1

2

CF，
∵CE=CF，
∴GH=

1

2

CF=

1

2

CE，
∵CE＜CG=

1

2

BC，
∴GH＜

1

4

BC，
即BC＞4GH，
故錯誤；
④∵∠DBF=45°，BE是∠DBF的平分線，
∴∠DBH=22.5°，
∵DE=EF，
∴∠CDF=

1

2

∠CEF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，
∵∠BHD=∠BHD，
∴△DHE∽△BHD，
∴DH：BH=HE：DH，
∴DH²=HE•HB，
故正確；
所以①②④正確．
故選B．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、等腰直角三角形的性質以及三角形中位線的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．