Question

如圖，點A在y軸上，點B在x軸上，且OA=OB=1，經過原點O的直線l交線段AB于點C，過C作OC的垂線，與直線x=1相交于點P，現將直線l繞O點旋轉，使交點C從A向B運動，但P點必須在第一象限內，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：
（1）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關系？并證明你得到的結論；
（2）設點P的坐標為（1，b），試寫出b關于t的函數關系式和變量t的取值范圍。
（3）若題中的“P點必須在第一象限內”改為“P點在直線x=1上”，其他條件不變，求出當△PBC為等腰三角形時點P的坐標。 

Answer 1

解：（1）OC=CP
證明：過點C作ED∥OB交直線x=1于點D，交y軸于點E
∴∠OEC=∠EOB=90°，∠OBD=∠BDE=90°
∴四邊形OBDE是矩形 ∴OE=BD
∵OA=OB   ∴∠ACE=∠EAC=45° ∴∠BCD=∠CBD=45° ∴CD=DB   ∴OE=CD　　
∵OC⊥CP   ∴∠1+∠3=90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2
∵∠OEC=∠PDC=90° ∴△OCE≌△CPD　 ∴OC=CP　
（2）∵AC=t   ∴AE=
∵AO=1   ∴OE= 　∴BD=　　∴b=PB=DB-DP=-DP 　
∵DP=EC=　 ∴b=　　　　　　　　
∵點P在第一象限內  ∴b=（0≤t＜）
（3）當t=0時，即點C與點A重合時△PBC為等腰三角形 ∴P（1，1）　　　　　　　　　　
當點P在第四象限且CB=BP時，有BD=CD=
∴BP=BC=CD=-t   ∴DP=BD+BP=+-t
由（2）知，DP=CE=   ∴+-t=
∴t=1　　 ∴CB=AB-AC=-t=-1
∴PB=CB=-1　　　
∵點P在第四象限 ∴P（1，1-）
綜上可知：P點坐標為（1，1）或（1，1-）