Question

已知：如圖，點A在y軸上，⊙A與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點D（0，3）和點E（0，-1）
（1）求經過B、E、C三點的二次函數的解析式；
（2）若經過第一、二、三象限的一動直線切⊙A于點P（s，t），與x軸交于點M，連接PA并延長與⊙A交于點Q，設Q點的縱坐標為y，求y關于t的函數關系式，并觀察圖形寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當y=0時，求切線PM的解析式，并借助函數圖象，求出（1）中拋物線在切線PM下方的點的橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知點D（0，3）和點E（0，-1），可以得到圓的直徑，連接AC，根據垂徑定理，以及勾股定理就可以求出OB，OE，OC的長度，得到三點的坐標，根據待定系數法就可以求出二次函數的解析式．
（2）過點P作PF⊥y軸于F，過點Q作QN⊥y軸于N，易證△PFA≌△QNA，則FA=NA，即|t-1|=|1-y|，即可得到函數解析式．
（3）當y=0時，Q點與C點重合，連接PB，由PC為⊙A的直徑可以得到PB⊥x軸，就可以求出P點的坐標．求出直線PM的解析式，求出切線PM與拋物線y=

1

3

x²-1交點坐標，橫坐標x的范圍就在兩個交點之間．

解答：解：（1）解法一：連接AC
∵DE為⊙A的直徑，DE⊥BC
∴BO=CO
∵D（0，3），E（0，-1）
∴DE=|3-（-1）|=4，OE=1
∴AO=1，AC=

1

2

DE=2
在Rt△AOC中，AC²=AO²+OC²
∴OC=

3

∴C（

3

，0），B（

3

，0）
設經過B、E、C三點的拋物線的解析式為y=a(x-

3

)(x+

3

)，
則-1=a（0-

3

）（0+

3

）
解得a=

1

3

∴y=

1

3

（x-

3

）（x+

3

）=

1

3

x²-1（2分）．
解法二：∵DE為⊙A的直徑，DE⊥BC
∴BO=CO
∴OC²=OD•OE
∵D（0，3），E（0，-1）
∴DO=3，OE=1
∴OC2=3×1=3
∴OC=

3

∴C（

3

，0），B（-

3

，0）
以下同解法一；

（2）解法一：過點P作PF⊥y軸于F，過點Q作QN⊥y軸于N
∴∠PFA=∠QNA=90°，F點的縱坐標為t
N點的縱坐標為y
∵∠PAF=∠QAN，PA=QA
∴△PFA≌△QNA
∴FA=NA
∵AO=1
∴A（0，1）
∴|t-1|=|1-y|
∵動切線PM經過第一、二、三象限
觀察圖形可得1＜t＜3，-1＜y＜1．
∴t-1=1-y．
即y=-t+2．
∴y關于t的函數關系式為y=-t+2（1＜t＜3）（5分）
解法二：（i）當經過一、二、三象限的切線PM運動到使得Q點與C點重合時，y=0
連接PB
∵PC是直徑
∴∠PBC=90°
∴PB⊥x軸，
∴PB=t．
∵PA=AC，BO=OC，AO=1，
∴PB=2AO=2，
∴t=2．
即t=2時，y=0．
（ii）當經過一、二、三象限的切線
PM運動使得Q點在x軸上方時，y＞0
觀察圖形可得1＜t＜2
過P作PS⊥x軸于S，過Q作QT⊥x軸于T

則PS∥AO∥QT
∵點A為線段PQ的中點
∴點O為線段ST的中點
∴AO為梯形QTSP的中位線
∴AO=

QT+PS

2

∴1=

y+t

2

∴y=-t+2．
∴y=-t+2（1＜t＜2）．
（iii）當經過一、二、三象限的切線PM運動使得Q點在x軸下方時，y＜0，觀察圖形可得2＜t＜3
過P作PS⊥x軸于S，過Q作QT⊥x軸于T，設PQ交x軸于R
則QT∥PS
∴△QRT∽△PRS
∴

QT

PS

=

QR

PR

設AR=m，則

-y

t

=

2-m

2+m

&&（1）
又∵AO⊥x軸，
∴AO∥PS
∴△ROA∽△RSP
∴

AO

PS

=

RA

RP

∴

1

t

=

m

2+m

&&（2）
由（1）、（2）得y=-t+2
∴y=-t+2（2＜t＜3）
綜上所述：y與t的函數關系式為y=-t+2（1＜t＜3）（5分）

（3）解法一：當y=0時，Q點與C點重合，連接PB
∵PC為⊙A的直徑
∴∠PBC=90°
即PB⊥x軸
∴s=-

3

將y=0代入y=-t+2（1＜t＜3），得0=-t+2
∴t=2∴P（-

3

，2）
設切線PM與y軸交于點I，則AP⊥PI
∴∠API=90°
在△API與△AOC中
∵∠API=∠AOC=90°，∠PAI=∠OAC
∴△API∽△AOC
∴

AP

AO

=

AI

AC

∴I點坐標為（0，5）
設切線PM的解析式為y=kx+5（k≠0），
∵P點的坐標為(-

3

，2)，
∴2=-3 k+5．
解得k=

3

，
∴切線PM的解析式為y=

3

x+5（7分）
設切線PM與拋物線y=

1

3

x²-1交于G、H兩點
由

y= 1 3 x2-1 y= 3 x+5

可得x₁=

3 3 -3 11

2

，x2=

3 3 +3 11

2

因此，G、H的橫坐標分別為

3 3 -3 11

2

、

3 3 +3 11

2

根據圖象可得拋物線在切線PM下方的點的橫坐標x的取值范圍是

3 3 -3 11

2

＜x＜

3 3 +3 11

2

（9分）
解法二：同（3）解法一
可得P（-

3

，2）
∵直線PM為⊙A的切線，PC為⊙A的直徑
∴PC⊥PM
在Rt△CPM與Rt△CBP中
cos∠PCM=

PC

CM

=

CB

PC

∵CB=2

3

，PC=4
∴CM=

PC2

CB

=

16

2 3

=

8 3

3

設M點的坐標為（m，0），
則CM=

3

-m=

8 3

3

∴m=-

5 3

3

．
即M（-

5 3

3

，0）．
設切線PM的解析式為y=kx+b（k≠0），
得

0=- 5 3 3

k+b²=-

3

k+b．
解得

k= 3 b=5

∴切線PM的解析式為y=

3

x+5（7分）
以下同解法一．

點評：本題是圓與函數相結合的題目，主要考查了垂徑定理以及勾股定理．待定系數法求函數的解析式，是一個比較難的題目．