Question

【題目】如圖甲，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點A、B，⊙O的半徑為2 個單位長度，點P為直線y=﹣x+8上的動點，過點P作⊙O的切線PC、PD，切點分別為C、D，且PC⊥PD．
（1）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；
（2）求點P的坐標
（3）若直線y=﹣x+8沿x軸向左平移得到一條新的直線y1=﹣x+b，此直線將⊙O的圓周分得兩段弧長之比為1：3，請直接寫出b的值；
（4）若將⊙O沿x軸向右平移（圓心O始終保持在x軸上），試寫出當⊙O與直線y=﹣x+8有交點時圓心O的橫坐標m的取值范圍．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形OCPD為正方形．理由如下：

連接OC、OD，如圖甲，

∵PC和PD為切線，

∴OC⊥PC，PD⊥PD，

而PC⊥PD，

∴∠OCP=∠ODP=∠CPD=90°，

∴四邊形OCPD為矩形，

而OC=OD，

∴四邊形OCPD為正方形.

（2）解：作PF⊥x軸于F，如圖甲，

∵四邊形OCPD為正方形，

∴OP= OD= 2 =2 ，

設P（t，﹣t+8），

∴t2+（﹣t+8）2=（2 ）2，解得t1=2，t2=6，

∴P點坐標為（2，6）或（6，2）

（3）解：如圖乙，

∵直線y1=﹣x+b將⊙O的圓周分得兩段弧長之比為1：3，

即直線y1=﹣x+b將⊙O的圓周分得的劣弧為圓周的 ，

∵直線y1=﹣x+b與坐標軸的夾角為45°，

∴直線y1=kx+b與坐標的交點A和點B為⊙O與坐標的交點，

當點A和點B都在坐標軸的正半軸上時，b=2 ；當點A和點B都在坐標軸的負半軸上時，b=﹣2 ，

即b的值為±2

（4）解：當x=0時，y=﹣x+8=8，則A（0，8），

當y=0時，﹣x+8=0，解得x=8，則B（8，0），

∴OA=OB，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴∠ABO =45°，

當圓移動到點O′時與直線AB相切，作O′M⊥AB，如圖丙，則O′M=2 ，

∵∠MBO′=45°，

∴△O′BM為等腰直角三角形，

∴BO′= O′B=2 ，

∴OO′=8﹣2 ，

∴點O′的坐標為（8﹣2 ，0），

當圓移動到點O″時與直線AB相切，作O″N⊥AB，如圖丙，同理可得B O″=2 ，

∴OO′=8+2 ，

∴點O″的坐標為（8+2 ，0），

∴當⊙O與直線y=﹣x+8有交點時圓心O的橫坐標m的取值范圍為8﹣2 ≤m≤8+2 ．

【解析】（1）四邊形OCPD為正方形．理由如下：連接OC、OD（如圖甲），根據切線性質知OC⊥PC，PD⊥PD，結合已知條件得∠OCP=∠ODP=
∠CPD=90°，再由矩形判定得四邊形OCPD為矩形，又根據一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得證.
（2）作PF⊥x軸于F（如圖甲），由正方形性質知OP= OD=2 ，設P（t，﹣t+8），根據勾股定理得一個方程，解之即可得出P點坐標.
（3）如圖乙，由已知得直線y1=﹣x+b將⊙O的圓周分得的劣弧為圓周的 ，再分情況討論：①當點A和點B都在坐標軸的正半軸上時，b=2 ；②當點A和點B都在坐標軸的負半軸上時，b=﹣2 ；從而得出答案.

（4）由直線解析式可知A（0，8），B（8，0），從而得出△OAB為等腰直角三角形，再分情況討論：①當圓移動到點O′時與直線AB相切，作O′M⊥AB（如圖丙），從而得△O′BM為等腰直角三角形，由等腰直角三角形性質知BO′= O′B=2 ，從而得點O′的坐標為（8﹣2 ，0）；

②當圓移動到點O″時與直線AB相切，作O″N⊥AB（如圖丙），由等腰直角三角形性質知B O″=2 ，從而得點O″的坐標為（8+2 ，0），

從而得出答案.