Question

【題目】如圖，在等腰三角形PAD中，PA＝PD，以AB為直徑的⊙O經過點P，點C是⊙O上一點，連接AC，PC，PC交AB于點E，已知∠ACP＝60°．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）連接OP，PB，BC，OC，若⊙O的直徑是4，則：

①當DE＝　 　，四邊形APBC是矩形；

②當DE＝　 　，四邊形OPBC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①2；②3．

【解析】

（1）連OP，根據圓周角定理得到∠AOP＝2∠ACP＝120°，則∠PAO＝∠APO＝30°，利用PA＝PD得到∠D＝∠PAD＝30°，則∠APD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，于是得到∠OPD＝120°﹣30°＝90°，根據切線的判定定理即可得到PD是⊙O的切線；

（2）①由四邊形APBC是矩形知∠PAC＝∠PBC＝90°，從而得PC是⊙O的直徑，據此知點O與點E重合，再證△APB≌△DPE，從而得AB＝DE＝2；

②由四邊形OPBC是菱形知PC、OB互相垂直平分，據此得OE＝BE＝2，AE＝3，再由PA＝PD即可知DE＝AE＝3．

解：（1）如圖1，連接OP，

∵∠ACP＝60°，

∴∠AOP＝120°，

而OA＝OP，

∴∠PAO＝∠APO＝30°，

∵PA＝PD，

∴∠D＝∠PAD＝30°，

∴∠APD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴∠OPD＝120°﹣30°＝90°，

∵OP為半徑，

∴PD是⊙O的切線；

（2）①如圖2，

∵四邊形APBC是矩形，

∴∠ACB＝∠APB＝∠PAC＝∠PBC＝90°，

∴PC是⊙O的直徑，

∴點O與點E重合，

在△APB和△DPE中，

∵∠PAB＝∠D，AP＝DP，∠APB＝∠DPE＝90°，

∴△APB≌△DPE（ASA），

∴AB＝DE＝2；

故答案為：2；

②如圖3，

∵四邊形OPBC是菱形，

∴PC、OB互相垂直平分，

∴OE＝BE＝2，

∴AE＝3，

∵PA＝PD，

∴DE＝AE＝3，

故答案為：3．