Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，
（1）若半徑為1的⊙O經過點A、B、D，且∠A＝60°，求此時菱形的邊長；
（2）若點P為AB上一點，把菱形ABCD沿過點P的直線a折疊，使點D落在BC邊上，利用無刻度的直尺和圓規作出直線a．（保留作圖痕跡，不必說明作法和理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OA，作OE⊥AB，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∵半徑為1的⊙O經過點A、B、D，OE⊥AB，
∴∠OAE＝30°，AB=2AE，
∴cos∠OAE=cos30=,
∴AE=，
∴AB=2AE=，
∴菱形的邊長為.


（2）解：如圖：連接PD，以點P為圓心PD為半徑畫弧交BC于點D′，連接DD′，過點P作D′D的垂線a，直線a即為所求直線.


【解析】（1）連接OA，作OE⊥AB，由菱形的性質得AB=AD，由等邊三角形的判定——有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即△ABD為等邊三角形，再根據垂徑定理得∠OAE＝30°，AB=2AE，由銳角三角函數得cos∠OAE=cos30°=,即AE=，得AB=2AE=
（2）由菱形和垂直平分線的性質根據題意即可畫出圖形.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等邊三角形的判定和菱形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．