Question

【題目】如圖，拋物線的頂點為C（﹣1，﹣1），且經過點A、點B和坐標原點O，點B的橫坐標為﹣3．

（1）求拋物線的解析式．

（2）求點B的坐標及△BOC的面積．

（3）若點D為拋物線上的一點，點E為對稱軸上的一點，且以點A、O、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，請在左邊的圖上標出D和E的位置，再直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x+1）2﹣1 （2）（﹣3，3），3 （3）答案見解析

【解析】

（1）根據頂點坐標設出拋物線的頂點解析式，將原點坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線的解析式.

（2）根據點B的橫坐標，代入拋物線解析式求得點B坐標；過點B作BM⊥y軸于點M，過點C作CN⊥y軸于點N，構建一個直角梯形，進而求出△BOC的面積．

（3）根據題意分三種情況考慮，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四邊形的性質和坐標與圖形的性質求出D的坐標即可.

解：（1）設拋物線解析式為y＝a（x+1）2﹣1，

將點O（0，0）代入，得：a﹣1＝0，

解得：a＝1，

則拋物線解析式為y＝（x+1）2﹣1；

（2）當x＝﹣3時，y＝3，

所以點B坐標為（﹣3，3），

如圖1，過點B作BM⊥y軸于點M，過點C作CN⊥y軸于點N，

則BM＝OM＝3，CN＝ON＝1，

∴MN＝4，

則S△BOC＝S梯形BMNC﹣S△BOM﹣S△CON

＝×（1+3）×4﹣×3×3﹣×1×1

＝3；

（3）如圖2所示，

分三種情況考慮：

當D1在第一象限時，若四邊形AOD1E1為平行四邊形，

∴AO＝E1D1＝2，

∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，

∴D1橫坐標為1，

將x＝1代入拋物線y＝x2+2x＝1+2＝3，即D1（1，3）；

當D2在第二象限時，同理D2（﹣3，3）；

當D3在第三象限時，若四邊形AE2OD3為平行四邊形，此時D3與C重合，即D3（﹣1，﹣1）；

綜上，點D的坐標為（1，3）或（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．