Question

【題目】（1）（方法回顧）連接三角形任意兩邊中點的線段叫三角形的中位線，探索三角形中位線的性質，方法如下：

①如圖1，D、E分別是AB、AC中點，延長DE到F，使EF=DE，連接CF；

②證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形，從而得到線段DE與BC的位置關系和數量關系分別為_______、________；

（2）（初步運用）如圖2，正方形ABCD中，E為邊AD中點，G、F分別在邊AB、CD上，且AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF長．

（3）（拓展延伸）如圖3，四邊形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E為AD中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝2，DF＝，∠GEF＝90°，求GF長．

Answer 1

【答案】（1）DE//BC，DE=BC；（2）GF長為5；（3）GF長為．

【解析】

（1）根據材料提供的思路進行證明即可；

（2）延長GE、FD交于點H，可證得△AEG≌△DEH，結合條件可證明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的長；

（3）過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，可證明△AEG≌△DEH，結合條件可得到△HPD為30度的直角三角形，可求得PF的長，在Rt△HFP中，可求得HF，則可求得GF的長．

解：（1）如圖1，在△ABC中，延長DE到點F，使得EF=DE，連接CF，

E是AC的中點，

在△ADE和△CFE中

∵

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴AD=CF，∠A=∠ECF

∴AD∥CF

∵AD=BD

∴BD=CF，

∵BD∥CF

∴四邊形DBCF是平行四邊形，

∴DE∥BC，DF=BC ∴DE=DF=BC．

故答案為：DE//BC，DE=BC；

（2）如圖2，延長GE、FD交于點H，

∵E為AD中點，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH，

∵∠GEF=90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（2）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，

∴∠A=∠HDE=100°，AG=HD=2，

∵∠ADC=110°，

∴∠HDF=360°-100°-110°=150°，

∴∠HDP=30°，

∵∠DPH=90°

∴PH=1，PD=，

∵DF=，

∴PF=PD+DF=

在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=1，PF=，

∴HF=

∴GF=FH=