Question

（2013•昭通）已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．
（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；
（2）求出∠BAD=∠CAF，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；
（3）畫出圖形后，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

解答：（1）證明：∵菱形AFED，
∴AF=AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數量關系是AC=CF-CD，
理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

AC=AB ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF-CD=BD-CD=BC=AC，
即AC=CF-CD．

（3）AC=CD-CF．理由是：
∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠DAB=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

AB=AC ∠DAB=∠FAC AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴CD-CF=CD-BD=BC=AC，
即AC=CD-CF．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，菱形的性質的應用，主要考查學生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中．