Question

【題目】如圖，在中，，點是直線上一點.

(1)如圖1，若，點是邊的中點，點是線段上一動點，求周長的最小值.

(2)如圖2，若，，是否存在點，使以，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直按寫出線段的長度：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，CD=3或8或或．

【解析】

（1）本小題是典型的“將軍飲馬”問題，只要作點C關于直線AB的對稱點E，連接BE、DE，DE交AB于點M，如圖3，則此時的周長最小，且最小值就是CD+DE的長，由于CD易求，故只要計算DE的長即可，由軸對稱的性質和等腰直角三角形的性質可得BE=BC=2，∠DBE=90°，然后根據勾股定理即可求出DE，問題即得解決；

（2）由于點是直線上一點，所以需分三種情況討論：①當AB=AD時，如圖4，根據等腰三角形的性質求解即可；②當BD=BA時，如圖5，根據勾股定理和等腰三角形的定義求解；③當DA=DB時，如圖6，設CD=x，然后在直角△ACD中根據勾股定理求解即可．

解：（1）作點C關于直線AB的對稱點E，連接BE、DE，DE交AB于點M，連接CM，如圖3，則此時的周長最小．

∵，，點是邊的中點，∴∠CBA=45°，BD=CD=1，

∵點C、E關于直線AB對稱，∴BE=BC=2，∠EBA=∠CBA=45°，∴∠DBE=90°，

∴．

∴的周長的最小值=CD+DE=；

（2）由于點是直線上一點，所以需分三種情況討論：

①當AB=AD時，如圖4，此時CD=CB=8；

②當BD=BA時，如圖5，在直線BC上存在兩點符合題意，即D1、D2，

∵，∴，；

③當DA=DB時，如圖6，此時點D為線段AB的垂直平分線與直線BC的交點，設CD=x，則BD=AD=8－x，在直角△ACD中，根據勾股定理，得：，解得：x=3，即CD=3．

綜上，在直線BC上存在點，使以，，為頂點的三角形是等腰三角形，且CD=3或8或或．