Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6．

（1）實踐操作：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

①作∠ABC的角平分線交AC于點D．

②作線段BD的垂直平分線，交AB于點E，交BC于點F，連接DE、DF．

（2）推理計算：四邊形BFDE的面積為　 　．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】

（1）利用基本作圖（作一個角等于已知角和作已知線段的垂直平分線）作出BD和EF；

（2）先證明四邊形BEDF為菱形，再利用含30度的直角三角形三邊的關系求出BF和CD，然后利用菱形的面積公式求解．

（1）如圖，DE、DF為所作；

（2）∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，AB=2BC=12．

∵BD為∠ABC的角平分線，∴∠DBC=∠EBD=30°．

∵EF垂直平分BD，∴FB=FD，EB=ED，∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°，∴DE∥BF，BE∥DF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，而FB=FD，∴四邊形BEDF為菱形．

∵∠DFC=∠FBD+∠FDB=30°+30°=60°，∴∠FDC=90°－60°=30°．在Rt△BDC中，∵BC=6，∠DBC=30°，∴DC=．在Rt△FCD中，∵∠FDC=30°，∴FC=2，∴FD=2FC=4，∴BF=FD=4，∴四邊形BFDE的面積=4×2=8．

故答案為：8．