Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（4，0），B為第一象限內一點，且OB⊥AB，OB＝2．

（1）如圖①，求點B的坐標；

（2）如圖②，將△OAB沿x軸向右平移得到△O′A′B′，設OO′＝m，其中0＜m＜4，連接BO′，AB與O′B′交于點C．

①試用含m的式子表示△BCO′的面積S，并求出S的最大值；

②當△BCO′為等腰三角形時，求點C的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）B（1，）；（2）①當m＝2時，S最大＝，②C（，）．

【解析】

(1)由OB⊥AB，0A＝4，OB＝2得出△AOB是有一個角為30°的直角三角形，簡單計算即可；

（2）①由平移用m表示出BC，O′C，建立S＝[﹣（m﹣2）2+4]，即可；

②利用△BCO′為等腰三角形，則有CB＝CO′確定出m，再利用相似求出CD，AD即可．

解：（1）∵OB⊥AB，0A＝4，OB＝2，

∴∠AOB＝60°，∠OAB＝30°，AB＝2，

過點B作BE⊥OA，

∴OD＝1，BE＝，

∴B（1，）．

（2）①∵△A′O′B′是△OAB平移得到，

∴∠A′O′B′＝∠AOB＝60°，O′B′⊥AB，

∵OO′＝m，

∴AO′＝4﹣m，

∴O′C＝AO′＝（4﹣m），AC＝AO′＝（4﹣m），

∴BC＝AB﹣AC＝m，

∴S＝BC×O′C＝m（4﹣m）＝ [﹣（m﹣2）2+4]，

當m＝2時，S最大＝．

②如下圖，作BE⊥OA，CD⊥OA，

由①有，AO′＝4﹣m，O′C＝（4﹣m），AC＝（4﹣m），

∴CB＝AB﹣AC＝2﹣（4﹣m）＝m，

由平移得，∠ACO′＝∠ABO＝90°，

∵△BCO′為等腰三角形，

∴CB＝O′C，

∴m＝（4﹣m），

∴m＝2（﹣1）．

∵BE×OA＝OB×AB，

∴BE＝＝，

∴AE＝BE＝3，

∵△ACO′∽△ABO，

∴，

∴CD＝×BE＝×＝＝，

∵BE⊥OA，CD⊥OA，

∴BE∥CD，

∴，

∴AD＝×AE＝，

∴OD＝OA﹣AD＝4﹣＝，

∴C（，）．