Question

【題目】如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．

（1）求證：∠APB=∠BPH；

（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的結論；

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析.（2）△PDH的周長不發生變化，理由詳見解析

【解析】根據軸對稱的性質以及角平分線上一點到角兩邊的距離相等即可解答.

試題分析：（1）∵四邊形EBCF與四邊形EPGF關于EF對稱，∴∠BPH=∠PBC（軸對稱性質）∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC，∴∠APB=∠BPH即得證.

(2) △PDH的周長不發生變化.由（1）知∠APB=∠BPH即BP為∠APH的角平分線，同理可得：BH為∠CHP的角平分線，過B作BM⊥PH于M，∵BP為∠APH的角平分線，∴PM=AP，∵BH為∠CHP的角平分線，∴MH=CH，∴PH=PM+MH=AP+CH,∴△PDH的周長為DP+PH+DH= DP+AP+CH+DH=AD+CD=8

∴當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長不發生變化.