Question

已知二次函數y=x²-mx+m-2：
（1）求證：不論m為任何實數，此二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）當二次函數的圖象經過點（3，6）時，確定m的值，并寫出此二次函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）要證明二次函數的圖象與x軸都有兩個交點，證明二次函數的判別式是正數即可解決問題；
（2）把點（3，6）代入函數解析式中即可求出m的值，也可以求出二次函數的解析式．

解答：解：（1）∵二次函數y=x²-mx+m-2，
∴△=m²-4（m-2）=m²-4m+4+4=（m-2）²+4，
而（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；

（2）∵二次函數的圖象經過點（3，6），
∴6=9-3m+m-2，
∴m=

1

2

，
∴y=x²-

1

2

x-

3

2

．

點評：此題既考查了拋物線與x軸的交點情況，也考查了利用待定系數法求函數的解析式，解題的關鍵是掌握拋物線的交點個數與函數的判別式正負的對應關系才能熟練解決問題．