Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數 y＝ax2＋bx＋2 的圖象與 x 軸交于 A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與 y 軸交于點C．

（1）求這個二次函數的關系解析式 ，x 滿足什么值時 y﹤0 ?

（2）點 p 是直線 AC 上方的拋物線上一動點，是否存在點 P，使△ACP 面積最大？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，說明理由

（3）點 M 為拋物線上一動點，在 x 軸上是否存在點 Q，使以 A、C、M、Q 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點 Q 的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， 或；（2）P；（3）

【解析】

（1）將點A（﹣3，0），B（1，0）帶入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程組，解得即可得出函數解析式；又從圖像可以看出x 滿足什么值時 y﹤0；

（2）設出P點坐標，利用割補法將△ACP 面積轉化為，帶入各個三角形面積算法可得出與m之間的函數關系，分析即可得出面積的最大值；

（3）分兩種情況討論，一種是CM平行于x軸，另一種是CM不平行于x軸，畫出點Q大概位置，利用平行四邊形性質即可得出關于點Q坐標的方程，解出即可得到Q點坐標.

解：（1）將A（﹣3，0），B（1，0）兩點帶入y＝ax2＋bx＋2可得：

解得：

∴二次函數解析式為.

由圖像可知，當或時y﹤0；

綜上：二次函數解析式為，當或時y﹤0；

（2）設點P坐標為，如圖連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N.

PM=，PN=，AO=3.

當時，，所以OC=2

，

∵

∴函數有最大值，

當時，有最大值，

此時；

所以存在點，使△ACP 面積最大.

（3）存在，

假設存在點Q使以 A、C、M、Q 為頂點的四邊形是平行四邊形

①若CM平行于x軸，如下圖，有符合要求的兩個點此時=

∵CM∥x軸，

∴點M、點C（0,2）關于對稱軸對稱，

∴M（﹣2,2），

∴CM=2.

由=；

②若CM不平行于x軸，如下圖，過點M作MG⊥x軸于點G，

易證△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即.

設M（x，﹣2），則有，解得：.

又QG=3,∴，

∴

綜上所述，存在點P使以 A、C、M、Q 為頂點的四邊形是平行四邊形，

Q點坐標為：

.