Question

已知如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，點O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦O₁C交AB于D，交⊙O₁于E．
求證：（l）O₁A²=O₁D•O₁C；　 （2）BE平分∠ABC．

Answer 1

證明：（1）∵0₁A=O₁B，
∴∠ACO₁=∠BCO₁，
∵∠O₁AB=∠O₁CB，
∴∠O₁AB=∠O₁CA，
∵∠AO₁C=∠DO₁A，
∴△AO₁C∽△DO₁A，
∴，
∴O₁A²=O₁D•O₁C；

（2）∵∠ADO₁=∠CDB，∠O₁AB=∠O₁CB，
又∵∠AO₁D=180°-∠ADO₁-∠O₁AB，∠ABC=180°-∠CDB-∠O₁CB，
∴∠AO₁D=∠ABC，
∵∠AO₁D=2∠ABE，
∴∠ABC=2∠ABE，
∴BE平分∠ABC．
分析：（1）由0₁A=O₁B，根據等弧所對的圓周角相等，即可求得∠O₁AB=∠O₁CA，又由∠AO₁C=∠DO₁A，則可證得△AO₁C∽△DO₁A，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得O₁A²=O₁D•O₁C；
（2）由∠ADO₁=∠CDB，∠O₁AB=∠O₁CB，易得∠AO₁D=∠ABC，又由同弧所對的圓周角等于它對圓心角的一半，即可求得∠ABC=2∠ABE，則可得BE平分∠ABC．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角與圓心角的性質等知識．此題綜合性較強，圖形較復雜，但難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．