Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）求該拋物線的解析式及頂點M坐標；

（2）求△BCM面積與△ABC面積的比；

（3）若P是x軸上一個動點，過P作射線PQ∥AC交拋物線于點Q，隨著P點的運動，在拋物線上是否存在這樣的點Q，使以A，P，Q，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，M（1，﹣4）．（2）S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．（3）Q點為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）

【解析】

試題分析：（1）有拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）兩點，則可設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．由與y軸交于點C（0，﹣3），則代入易得解析式，頂點易知．

（2）求△BCM面積與△ABC面積的比，由兩三角形不為同高或同底，所以考慮求解求出兩三角形面積再作比即可．因為S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=ABOC，則結論易得．

（3）由四邊形為平行四邊形，則對邊PQ、AC平行且相等，過Q點作x軸的垂線易得Q到x軸的距離=OC=3，又（1）得拋物線解析式，代入即得Q點橫坐標，則Q點可求．

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

∵拋物線過點（0，﹣3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），

∴a=1，

∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴M（1，﹣4）．

（2）如圖1，連接BC、BM、CM，作MD⊥x軸于D，

∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC

=（3+4）1+2×4﹣33

=+﹣=3

S△ABC=ABOC=43=6，

∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：

①如圖2，當Q在x軸下方時，作QE⊥x軸于E，

∵四邊形ACQP為平行四邊形，

∴PQ平行且相等AC，

∴△PEQ≌△AOC，

∴EQ=OC=3，

∴﹣3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=2或x=0（與C點重合，舍去），

∴Q（2，﹣3）．

②如圖3，當Q在x軸上方時，作QF⊥x軸于F，

∵四邊形ACPQ為平行四邊形，

∴QP平行且相等AC，

∴△PFQ≌△AOC，

∴FQ=OC=3，

∴3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=1+或x=1﹣，

∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．

綜上所述，Q點為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）