Question

【題目】如圖，BE，CD相交于點A，∠DEA、∠BCA的平分線相交于F.

（1）探求：∠F與∠B、∠D有何等量關系？

（2）當∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x時，x為多少？

Answer 1

【答案】【答案:（1）∠F=（∠B+∠D）；（2）3.

【解析】試題分析：（1）由三角形內角和外角的關系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分線的性質可知∠1=∠2，∠3=∠4，故∠F=（∠B+∠D）．

（2）設∠B=2α，則∠D=4α．利用（1）中的結論和已知條件來求x的值．

試題解析：解：（1）∠F=（∠B+∠D）；

理由如下：

∵∠DHF是△DEH的外角，∠EHC是△FCH的外角，∠DHF=∠EHC，∴∠D+∠1=∠3+∠F ①

同理，∠2+∠F=∠B+∠4 ②

又∵∠DEA，∠BCA的平分線相交于F，∴∠1=∠2，∠3=∠4；

∴①﹣②得：∠B+∠D=2∠F，即∠F=（∠B+∠D）．

（2）∵∠B：∠D：∠F=2：4：x，∴設∠B=2α，則∠D=4α，∴∠F=（∠B+∠D）=3α，又∠B：∠D：∠F=2：4：x，∴x=3．