Question

【題目】如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點，連接MN ， 交AB于點D、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB ， 過點D作DE⊥AC于點E ， DF⊥BC于點F ．

（1）求證：△AED≌△BFD；
（2）若AB＝2，當CD的值為多少時，四邊形DECF是正方形？

Answer 1

【答案】
（1）

解答：證明：由作圖知，MN是線段AB的垂直平分線，∵C是直線MN上任意一點，MN交AB于點D，

∴CA＝CB，AD＝BD，

∴∠A＝∠B，在△AED與△BFD中， ，

∴△AED≌△BFD（AAS）．

（2）

解答：解：若AB＝2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形．

理由如下：∵AB＝2，∴AD＝BD＝ AB＝1．

∵CD＝AD＝BD＝1，MN⊥AB，

∴△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴∠ECF＝∠ACD＋∠BCD＝90°，

∵∠DEC＝∠DFC＝90°，

∴四邊形DECF是矩形，∠CDE＝90°－45°＝45°，

∴∠ECD＝∠CDE＝45°，

∴ED＝CE，

∴矩形DECF是正方形．

【解析】（1）先由作圖知MN是線段AB的垂直平分線，根據垂直平分線的性質得出CA＝CB ， AD＝BD ， 由等邊對等角得到∠A＝∠B ， 然后利用AAS即可證明△AED≌△BFD；（2）若AB＝2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形．先由CD＝AD＝BD＝1，MN⊥AB ， 得出△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，則∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ECF＝90°，根據有三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED＝CE ， 從而得出矩形DECF是正方形．
【考點精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和正方形的判定方法的相關知識點，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能正確解答此題．