Question

【題目】如圖：有一塊余料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm．

（1）如果把它加工成長方形零件，使長方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，設長方形寬xmm，面積為ymm2，那么寬為多少時，其面積最大．最大面積是多少？

(2）若以BC的中點O為原點建立平面直角坐標系，B（-60，0），AD=BD．

求過A、B、C三點的拋物線解析式；

在此拋物線對稱軸上是否存在一點R，使以A、B、R為頂點的三角形是直角三角形．若存在，請直接寫出R點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 當x＝40時，y最大值＝2400 ；（2）；（3）見解析．

【解析】分析：（1）設PQ=x，利用相似三角形的性質可得出QN=﹣x+120，根據矩形的面積公式即可得出y=﹣x2+120x，配方后即可找出面積的最大值；

（2）①依照題意畫出圖形，由AD的長度可得出點A的坐標，根據點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

②設點R的坐標為（0，n），則AB=80，AR=，BR=，分∠ABR=90°、∠ARB=90°和∠BAR=90°三種情況考慮，利用勾股定理即可得出關于n的一元一次（或一元二次）方程，解之即可得出結論．

詳解：（1）∵PQ⊥BC，MN⊥BC，AD⊥BC，∴PQ∥AD，MN∥AD，∴△BPQ∽△BAD，△CAD∽△CMN，∴BQ=BD，CN=CD．

設PQ=x，則QN=BC﹣BQ﹣CN=120﹣（BD+CD）=﹣x+120，

∴y=PQQN=x（﹣x+120）=﹣x2+120x=﹣（x﹣40）2+2400，

∴當x=40時，y取最大值2400，∴寬為40mm時，其面積最大．最大面積是2400mm2．

（2）①依照題意畫出圖形，如圖所示．

設拋物線的解析式為y=ax2+c，將B（﹣60，0）、A（20，80）代入y=ax2+c，，解得：，∴過A、B、C三點的拋物線解析式為y=﹣x2+90．

②假設存在，設點R的坐標為（0，n），則AB=80，AR=，BR=．

分三種情況考慮：

①當∠ABR=90°時，有AR2=AB2+BR2，即400+（80﹣n）2=12800+3600+n2，解得：n=﹣60，此時點R的坐標為（0，﹣60）；

②當∠ARB=90°時，有AB2=AR2+BR2，即12800=400+（80﹣n）2+3600+n2，整理得：n2﹣80n﹣1200=0，解得：n1=，n2=，此時點R的坐標為（0，）或（0，）；

③當∠BAR=90°時，有BR2=AB2+AR2，即3600+n2=12800+400+（80﹣n）2，解得：n=100，此時點R的坐標為（0，100）．

綜上所述：在此拋物線對稱軸上存在一點R，使以A、B、R為頂點的三角形是直角三角形，點R的坐標為（0，﹣60）或（0，）或（0，）或（0，100）．