Question

【題目】某公司經營楊梅業務，以3萬元/噸的價格向農戶收購楊梅后，分揀成A、B兩類，A類楊梅包裝后直接銷售；B類楊梅深加工后再銷售．A類楊梅的包裝成本為1萬元/噸，根據市場調查，它的平均銷售價格y（單位：萬元/噸）與銷售數量x（x≥2）之間的函數關系如圖；B類楊梅深加工總費用s（單位：萬元）與加工數量t（單位：噸）之間的函數關系是s=12+3t，平均銷售價格為9萬元/噸．
（1）直接寫出A類楊梅平均銷售價格y與銷售量x之間的函數關系式；
（2）第一次，該公司收購了20噸楊梅，其中A類楊梅有x噸，經營這批楊梅所獲得的毛利潤為w萬元（毛利潤=銷售總收入﹣經營總成本）． ①求w關于x的函數關系式；
②若該公司獲得了30萬元毛利潤，問：用于直銷的A類楊梅有多少噸？
（3）第二次，該公司準備投入132萬元資金，請設計一種經營方案，使公司獲得最大毛利潤，并求出最大毛利潤．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當2≤x＜8時，如圖，

設直線AB解析式為：y=kx+b，

將A（2，12）、B（8，6）代入得：

，解得 ，

∴y=﹣x+14；

②當x≥8時，y=6．

所以A類楊梅平均銷售價格y與銷售量x之間的函數關系式為：

y=

（2）解：設銷售A類楊梅x噸，則銷售B類楊梅（20﹣x）噸．

①當2≤x＜8時，

wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；

wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x

∴w=wA+wB﹣3×20

=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60

=﹣x2+7x+48；

當x≥8時，

wA=6x﹣x=5x；

wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x

∴w=wA+wB﹣3×20

=（5x）+（108﹣6x）﹣60

=﹣x+48．

∴w關于x的函數關系式為：

w= ．

②當2≤x＜8時，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合題意；

當x≥8時，﹣x+48=30，解得x=18．

∴當毛利潤達到30萬元時，直接銷售的A類楊梅有18噸

（3）解：設該公司用132萬元共購買了m噸楊梅，其中A類楊梅為x噸，B類楊梅為（m﹣x）噸，

則購買費用為3m萬元，A類楊梅加工成本為x萬元，B類楊梅加工成本為[12+3（m﹣x）]萬元，

∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化簡得：x=3m﹣60．

①當2≤x＜8時，

wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；

wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12

∴w=wA+wB﹣3×m

=（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m

=﹣x2+7x+3m﹣12．

將3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64

∴當x=4時，有最大毛利潤64萬元，

此時m= ，m﹣x= ；

②當x≥8時，

wA=6x﹣x=5x；

wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12

∴w=wA+wB﹣3×m

=（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m

=﹣x+3m﹣12．

將3m=x+60代入得：w=48

∴當x＞8時，有最大毛利潤48萬元．

綜上所述，購買楊梅共 噸，其中A類楊梅4噸，B類 噸，公司能夠獲得最大毛利潤，最大毛利潤為64萬元．

【解析】（1）這是一個分段函數，分別求出其函數關系式；（2）①當2≤x＜8時及當x≥8時，分別求出w關于x的表達式．注意w=銷售總收入﹣經營總成本=wA+wB﹣3×20；②若該公司獲得了30萬元毛利潤，將30萬元代入①中求得的表達式，求出A類楊梅的數量；（3）本問是方案設計問題，總投入為132萬元，這筆132萬元包括購買楊梅的費用+A類楊梅加工成本+B類楊梅加工成本．共購買了m噸楊梅，其中A類楊梅為x噸，B類楊梅為（m﹣x）噸，分別求出當2≤x＜8時及當x≥8時w關于x的表達式，并分別求出其最大值．