Question

【題目】如圖1，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，經過點O的直線與邊AB相交于點E，與邊CD相交于點F．

（1）求證：OE=OF；

（2）如圖2，連接DE，BF，當DE⊥AB時，在不添加其他輔助線的情況下，直接寫出腰長等于BD的所有的等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．

【解析】

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AB∥CD，則可證得△AOE≌△COF（ASA），繼而證得OE=OF；
（2）證明四邊形DEBF是矩形，由矩形的性質和等腰三角形的性質即可得出結論．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF；

（2）∵OE=OF，OB=OD，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四邊形DEBF是矩形，

∴BD=EF，

∴OD=OB=OE=OF=BD，

∴腰長等于BD的所有的等腰三角形為△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．