Question

【題目】閱讀下面材料：

小騰遇到這樣一個問題：如圖1，在中，點在線段上．，，，．求的長．

小騰發現，過點作，交的延長線于點，通過構造，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．

發現：的度數為 ，的長為

探究：參考小騰思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在四邊形中，，，，與交于點，，，求，的長．

Answer 1

【答案】發現：∠ACE的度數為75°，AC的長為3；探究：，

【解析】

發現：根據平行線的性質得到∠E=∠BAD=75°，根據三角形內角和定理即可得出，證明△ABD∽△DCE，根據相似三角形的性質得出AC的長；

探究：過點D作DF⊥AC于點F，證明△ABE∽△FDE，根據相似三角形的性質求出EF、AF，根據正切的概念求出DF，根據勾股定理計算即可．

發現：∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=75°，
∴∠ACE=180°-∠CAD-∠E=180°-75°-30°=75°，

∵∠E=75°，∴∠ACE=∠E，
∴AC=AE，
∵CE∥AB，BD=2DC，
∴△ABD∽△DCE，

∴

∴AD=2DE，
∴DE=1，∴AE=3，
∴AC=3；∴AD=2DE，
∵AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3；

故答案為：75，3

探究：過點D作DF⊥AC于F，如圖

∵ ∠BAC=90°，

∴ AB∥DF，∴ △ABE∽△FDE．

∴

∴EF=1 , AB=2DF．

∴AF=3

在Rt△ACD中，∠CAD=30°

設DF=x,則AD=2x，

由勾股定理得，解得，∴

∵ 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°,

∴ ∠ACD=75°，∴ AC=AD

∵AD=2DF ，AB=2DF

∴AD=AB

∴AB=AC