Question

【題目】如圖，將一張邊長為8的正方形紙片OABC放在直角坐標系中，使得OA與y軸重合，OC與x軸重合，點P為正方形AB邊上的一點(不與點A、點B重合)．將正方形紙片折疊，使點O落在P處，點C落在G處，PG交BC于H，折痕為EF．連接OP、OH．

初步探究

（1）當AP=4時

①直接寫出點E的坐標　　　　；

②求直線EF的函數表達式．

深入探究

（2）當點P在邊AB上移動時，∠APO與∠OPH的度數總是相等，請說明理由．

拓展應用

（3）當點P在邊AB上移動時，△PBH的周長是否發生變化？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）①(0，5)；②；（2）理由見解析；（3）周長=16，不會發生變化，證明見解析．

【解析】

（1）①設：OE＝PE＝a，則AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；

②證明△AOP≌△FRE（AAS），則ER＝AP＝4，故點F（8，1），即可求解；

（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因為AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；

（3）證明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），則CH＝QH，即可求解．

（1）①設：OE=PE=a，則AE=8﹣a，AP=4，

在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，

即a2=(8﹣a)2+16，解得：a=5，

故點E(0，5)．

故答案為：(0，5)；

②過點F作FR⊥y軸于點R，

折疊后點O落在P處，則點O、P關于直線EF對稱，則OP⊥EF，

∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，

∴∠AOP=∠EFR，

而∠OAP=∠FRE，RF=AO，

∴△AOP≌△FRE(AAS)，

∴ER=AP=4，

OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故點F(8，1)，

將點E、F的坐標代入一次函數表達式：y=kx+b

得：，解得：，

故直線EF的表達式為：y=﹣x+5；

（2）∵PE=OE，

∴∠EOP=∠EPO．

又∵∠EPH=∠EOC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．

即∠POC=∠OPH．

又∵AB∥OC，

∴∠APO=∠POC，

∴∠APO=∠OPH；

（3）如圖，過O作OQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知∠APO=∠OPH，

在△AOP和△QOP中，

∴△AOP≌△QOP(AAS)，

∴AP=QP，AO=OQ．

又∵AO=OC，

∴OC=OQ．

又∵∠C=∠OQH=90°，OH=OH，

∴△OCH≌△OQH(SAS)，

∴CH=QH，

∴△PHB的周長=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16．

故答案為：16．