Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，延長AB至點E，使BE＝AB，連接CE．

（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；

（2）若∠E＝60°，AC＝，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據菱形的對邊平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后證明得到BE＝CD，BE∥CD，從而證明四邊形BECD是平行四邊形；
（2）欲求菱形ABCD的面積，已知AC＝，只需求得BD的長度即可．利用平行四邊形以及菱形的性質可得AC⊥CE，再解直角△ACE求出CE的長度，即為BD的長度．則利用菱形ABCD的面積等于兩對角線乘積的一半即可求解．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=CD,AB∥CD

又∵BE=AB，

∴BE=CD,BE∥CD

∴四邊形BECD是平行四邊形

（2）解：∵四邊形BECD是平行四邊形

∴BD∥CE

∵四邊形ABCD是菱形

∴AC⊥BD

∴AC⊥CE

∴∠ACE=90°

∵Rt△ACE中，∠E=60°，AC＝，

∴∠EAC=30°

∴AE=2CE

設CE=x，AE=2x

由題意得：(2x)2- x2=()2

解得x=1（負值舍去）

∴CE=1，AE=2

∵四邊形BECD是平行四邊形

∴BD=CE=1

∴菱形ABCD的面積=