Question

已知點A（-1，-1）在拋物線y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1上，點B與點A關于拋物線的對稱軸對稱，
（1）求k的值和點B的坐標；
（2）是否存在與此拋物線僅有一個公共點B的直線？如果存在，求出符合條件的直線的解析式；如果不存在，簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A點坐標代入拋物線的解析式中，即可求得k的值；從而確定拋物線的解析式和對稱軸方程，根據A、B關于拋物線的對稱軸對稱，即可得到點B的坐標；
（2）若直線與拋物線只有一個公共點，可考慮兩種情況：
①此直線存在斜率時，可設出直線的解析式為y=mx+n，然后將B點坐標代入此直線的解析式中即可得到m、n的關系式；聯立拋物線的解析式，消去y后可得到關于x的方程，若兩函數只有一個交點，那么方程的△=0，可得到另一個關于m、n的關系式，聯立兩式即可求出m、n的值，由此確定該直線的解析式；
②此直線與y軸平行且經過點B，此時直線沒有斜率，根據B點的坐標即可得到直線的解析式．

解答：解：（1）根據題意，將x=-1，y=-1，代入拋物線的解析式，得
（k²-1）×（-1）²-2（k-2）×（-1）+1=-1
解得k₁=1，k₂=-3．
由于k²-1≠0，所以k=-3．
拋物線的解析式是y=8x²+10x+1，
對稱軸為直線x=-

5

8

，
∵點B和點A（-1，-1）關于直線x=-

5

8

對稱，
∴B（-

1

4

，-1）．

（2）存在．
理由如下：
設經過點B的直線的解析式是y=mx+n，將B點坐標代入得m-4n=4．①
又∵要使直線與拋物線只有一個公共點，
只要使方程mx+n=8x²+10x+1有兩個相等的實數根，
方程mx+n=8x²+10x+1
整理得，8x²+（10-m）x+1-n=0，
得△=（10-m）²-32（1-n）=0②
將①代②，解出，m=6，n=

1

2

，
則它的解析式是y=6x+

1

2

．
又有過點B，平行于y軸的直線與拋物線僅有一個公共點，
即x=-

1

4

．
答：直線的解析式y=6x+

1

2

或x=-

1

4

．

點評：此題主要考查了一次函數與二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法；要注意的是（2）題中，一條直線與拋物線只有一個交點時，可以有兩種情況（①經過交點且與y軸平行；②不與y軸平行，聯立拋物線解析式所得方程只有一個實數根），不要漏解．