Question

【題目】如圖線段OA＝12，線段OA繞點O旋轉90°，形成扇形OAB，點D為OB的中點，點E為弧AB上的動點，連接OE，與CD的交點為F，點C在OA上，AC＝4．

（1）①CD＝　 　；②當BE弧長為4π時，∠BOE＝　 　．

（2）當四邊形ODEC面積最大時，求EF．

（3）在點E的運動過程中，是否存在一個時刻使CE+2DE有最小值？若存在請直接寫出答案；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①10；②60°；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）運用勾股定理計算CD，由弧長公式可求出∠BOE；
（2）四邊形面積最大時，兩三角形的高的和等于半徑，即可求得EF；
（3）延長OB至點G，使BG=OB，連接GE、GC、DE．證明△DOE～△EOG，得到EG=2DE，所以CE+2DE=CE+EG，當C、E、G三點在同一直線上上時，CE+EG最小，此時CE+EG＝CG＝＝＝8，即CE+2DE有最小值為8.

解：（1）①在Rt△OCD中，∠COD＝90°，OC＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OD＝OB＝＝6，

∴＝＝10，

故答案為：10；

②設∠BOE＝n°，由弧長公式得：，解得：n＝6

∴∠BOE＝60°；

故答案為：60°；

（2）分別過O、E作OM⊥CD于M，EN⊥CD于N，

∵CD＝10，

∴S四邊形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝CD（OM+EN）≤CDOE＝×10×12＝60；

此時，OM、EN、OE重合，

∵OMCD＝OCOD

∴10×OM＝6×8，OM＝，

∴＝；

（3）延長OB至點G，使BG＝OB，連接GE、GC、DE．

∴

∵點D為OB的中點，OB＝OE，

∴，

∴，

又∠DOE＝∠EOG，

∴△DOE～△EOG，

，

即EG＝2DE，

∴CE+2DE＝CE+EG，

當C、E、G三點在同一直線上上時，CE+EG最小，

CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，

此時CE+EG＝CG＝＝＝8，

故CE+2DE有最小值為8．