Question

【題目】（10分）如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于點F，交BC于點G，過點C作⊙O的切線與ED的延長線交于點P．

（1）求證：PC=PG；

（2）點C在劣弧AD上運動時，其他條件不變，若點G是BC的中點，試探究CG、BF、BO三者之間的數量關系，并寫出證明過程；

（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為5，若點O到BC的距離為時，求弦ED的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DE=4．

【解析】

試題分析：（1）連結OC，根據切線的性質得OC⊥PC，可得∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，又因∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根據對頂角相等得∠BGF=∠PGC，

于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG；

（2）連結OG，由點G是BC的中點，根據垂徑定理的推論得OG⊥BC，BG=CG，易證得Rt△BOG∽Rt△BGF，則BG：BF=BO：BG，即BG2=BOBF，把BG用CG代換得到CG2=BOBF；

（3）連結OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理計算出BG的長，再利用BG2=BOBF可計算出BF，從而得到OF=1的長，在Rt△OEF中，根據勾股定理計算出EF的長，由于AB⊥ED，根據垂徑定理可得EF=DF，再根據DE=2EF即可得DE的長．

試題解析：（1）證明：連結OC，如圖，

∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴∠OCG+∠PCG=90°，

∵ED⊥AB，

∴∠B+∠BGF=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCG，

∴∠PCG=∠BGF，

而∠BGF=∠PGC，

∴∠PGC=∠PCG，

∴PC=PG；

（2）解：CG、BF、BO三者之間的數量關系為CG2=BOBF．理由如下：

連結OG，如圖，

∵點G是BC的中點，

∴OG⊥BC，BG=CG，

∴∠OGB=90°，

∵∠OBG=∠GBF，

∴Rt△BOG∽Rt△BGF，

∴BG：BF=BO：BG，

∴BG2=BOBF，

∴CG2=BOBF；

（3）解：連結OE，如圖，

由（2）得OG⊥BC，

∴OG=，

在Rt△OBG中，OB=5，

∴BG==2，

由（2）得BG2=BOBF，

∴BF==4，

∴OF=1，

在Rt△OEF中，EF==2，

∵AB⊥ED，

∴EF=DF，

∴DE=2EF=4．