Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分線．

（1）以AB上的一點O為圓心，AD為弦在圖中作出⊙O．（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并證明你的結論．

（3）若∠B=30°，計算S△DAC：S△ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析（2）相切；（3）1：3

【解析】

試題（1）因為AD是弦，所以圓心O即在AB上，也在AD的垂直平分線上；
（2）因為D在圓上，所以只要能證明OD⊥BC就說明BC為⊙O的切線；
（3）根據直角三角形的性質得到CD=AD，于是得到BC=CD+BD=CD+AD=3CD，根據三角形的面積公式即可得到結論．

試題解析：

（1）如圖所示，

（2）相切；理由如下：

證明：連結OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA

∵AD是BAC的角平分線，則∠OAD=∠DAC，

∴∠ODA=∠DAC，

∵AC⊥BC，則∠DAC+∠ADC=90°，

∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，

∴OD⊥BC，

即BC是⊙O的切線；

（3）∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，

∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=CD+AD=3CD，

∴S△DAC= ，S△ABC==；

∴S△DAC：S△ABC=： =1：3．