Question

（1）如圖，已知點C在線段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長度；
（2）若點C是線段AB上任意一點，且AC=a，BC=b，點M、N分別是AC、BC的中點，請直接寫出線段MN的長度；（用a、b的代數式表示）
（3）在（2）中，把點C是線段AB上任意一點改為：點C是直線AB上任意一點，其他條件不變，則線段MN的長度會變化嗎？若有變化，求出結果．

Answer 1

分析：（1）根據點M、N分別是AC、BC的中點，先求出CM、CN的長度，則MN=CM+CN；
（2）根據點M、N分別是AC、BC的中點，CM=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，所以MN=

1

2

（AC+BC）=

a+b

2

；
（3）長度會發生變化，分點C在線段AB上、點B在A、C之間和點A在B、C之間三種情況討論．

解答：解：（1）∵AC=6cm，點M是AC的中點
∴CM=

1

2

AC=3cm
∵BC=4cm，點N是BC的中點
∴CN=

1

2

BC=2cm
∴MN=CM+CN=5cm
∴線段MN的長度為5cm．（4分）

（2）MN=

a+b

2

．（6分）

（3）線段MN的長度會變化．（7分）
當點C在線段AB上時，由（2）知MN=

a+b

2

（8分）
當點C在線段AB的延長線時，如圖：

則AC=a＞BC=b
∵AC=a點M是AC的中點
∴CM=

1

2

AC=

1

2

a
∵BC=b點N是BC的中點
∴CN=

1

2

BC=

1

2

b
∴MN=CM-CN=

a-b

2

（9分）
當點C在線段BA的延長線時，如圖：

則AC=a＜BC=b
同理可求：CM=

1

2

AC=

1

2

a
CN=

1

2

BC=

1

2

b
∴MN=CN-CM=

b-a

2

（10分）
∴綜上所述，線段MN的長度會變化，MN=

a+b

2

，

a-b

2

，

b-a

2

．

點評：本題主要是線段中點的運用，分情況討論是解題的難點，難度較大．