Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，其坐標為（0，4），x軸上的一動

P從原點O出發，沿x軸正半軸方向運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點

第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．

（1）填空：當t＝2時，點B的坐標為．

（2）在P點的運動過程中，當AB∥x軸時，求t的值；

（3）通過探索，發現無論P點運動到何處，點B始終在一直線上，試求出該直線的函數解析式．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，4）；（2）t=4；（3）y＝x﹣4

【解析】

（1）將點P的坐標向右平移2個單位到達點O，此時，點A的坐標為：（﹣2，4），將點A圍繞點O順時針旋轉90°，此時點B的坐標為：（4，2），將點B的坐標向右平移2個單位，即為此時的點B（6，2），即可求解；

（2）過點B作BC⊥x軸于點C，如圖所示．證明四邊形ABCO為長方形，則AO＝BC＝4，則△APB為等腰直角三角形，即可求解；

（3）證明△PAO≌△BPC（AAS）．則AP＝BP，AO＝PC，BC＝PO．點A（0，4），點P（t，0），點B（x，y），則PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，即可求解．

（1）將點P的坐標向右平移2個單位到達點O，此時，點A的坐標為：（﹣2，4），

將點A圍繞點O順時針旋轉90°，此時點B的坐標為：（4，2），

將點B的坐標向右平移2個單位，即為此時的點B（6，2）；

（2）過點B作BC⊥x軸于點C，如圖所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，

∴四邊形ABCO為長方形，

∴AO＝BC＝4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，

∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA＝OP＝4，t＝4÷1＝4（秒）；

（3）∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC＝180°﹣90°＝90°．

又∵∠PAO+∠APO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC．

∠PAO＝∠BPC，

在△PAO和△BPC中，∠AOP＝∠PCB＝90°，

∴△PAO≌△BPC（AAS）．

AP＝BP，

∴AO＝PC，BC＝PO．

∵點A（0，4），點P（t，0），點B（x，y），

∴PC＝AO＝4，BC＝PO＝t＝y，CO＝PC+PO＝4+y＝x，

∴y＝x﹣4．