Question

5．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$ x-4與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．
（1）求點A，B，C的坐標．
（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD于點M，求線段MQ長度的最大值．
（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）當點P在線段EB上運動時，直線l與菱形BDEC的某一邊交于點S，是否存在 m 值，使得點C、Q、S、D為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出m值，不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據坐標軸上點的特點，可求點A，B，C的坐標．
（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標，根據待定系數法可求直線BD的解析式，根據題意可得關于m的方程，求得m的值；
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD兩種情況討論可求點Q的坐標，；
（4）存在，如圖2，當點P在線段OB上時，直線l分別交BD交于點S，根據平行四邊形的性質得到SQ∥CD，SQ=CD，由點P的坐標為（m，0），得到點S的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點Q的坐標為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），列方程即可得到結論．如圖3，點P在線段OE上時，直線l分別交CE交于點S，列方程即可得到結論．

解答 解：（1）當y=0時，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$ x-4=0，解得x₁=-2，x₂=8，
∵點B在點A的右側，
∴點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（8，0）．
當x=0時，y=-4，
∴點C的坐標為（0，-4）；

（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標為（0，4）．
設直線BD的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=4．
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x軸，
∴點M的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點Q的坐標為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
如圖，線段MQ長度=-$\frac{1}{2}$m+4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=-$\frac{1}{4}$m²+m+8，
即線段MQ長度=-$\frac{1}{4}$（m-2）²+3，
當m=2時，線段MQ長度的最大值為3；

（3）拋物線上存在兩個這樣的點Q，分別是Q₁（-2，0），Q₂（6，-4）．
若△BDQ為直角三角形，可能有三種情形，如答圖2所示：

①如答圖2，以點Q為直角頂點．
此時以BD為直徑作圓，圓與拋物線的交點，即為所求之Q點．
∵P在線段EB上運動，
∴-8≤x_Q≤8，而由圖形可見，在此范圍內，圓與拋物線并無交點，
故此種情形不存在．
②以點D為直角頂點．
連接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
由勾股定理得：AD=2$\sqrt{5}$，BD=4$\sqrt{5}$，
∵AD²+BD²=AB²，
∴△ABD為直角三角形，即點A為所求的點Q．
∴Q₁（-2，0）；
③以點B為直角頂點．
如圖，設Q₂點坐標為（x，y），過點Q₂作Q₂K⊥x軸于點K，則Q₂K=-y，OK=x，BK=8-x．
易證△Q₂KB∽△BOD，
∴$\frac{{Q}_{2}K}{OB}$=$\frac{BK}{OD}$，即$\frac{-y}{8}$=$\frac{8-k}{4}$，整理得：y=2x-16．
∵點Q在拋物線上，∴y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4．
∴$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=2x-16，解得x=6或x=8，
當x=8時，點Q₂與點B重合，故舍去；
當x=6時，y=-4，
∴Q₂（6，-4）．
綜上所述，符合題意的點Q的坐標為（-2，0）或（6，-4）；

（4）存在，如圖2，當點P在線段OB上時，直線l分別交BD交于點S，
∵四邊形DCQS是平行四邊形，
∴SQ∥CD，SQ=CD，
∵點P的坐標為（m，0），
∴點S的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），點Q的坐標為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∴-$\frac{1}{2}$m+4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=8，
∴m=4，m=0（不合題意，舍去），
如圖3，點P在線段OE上時，直線l分別交CE交于點S，
∵四邊形DCQS是平行四邊形，
∴SQ∥CD，SQ=CD，
∵直線CE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$m-4，
∵點P的坐標為（m，0），
∴點S的坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m-4），點Q的坐標為（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∴$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4-（-$\frac{1}{2}$m-4）=8，
∴m=-4，m=8（不合題意，舍去），
∴當 m=±4時，點C、Q、S、D為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：坐標軸上點的特點，菱形的對稱性，待定系數法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質，方程思想和分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．