Question

【題目】在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=，點E在△ABC的內部，連接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°.

（1）如圖1，當=60°時，線段BD與CE的數量關系為 ，線段EA，EB，EC的數量關系為 ；

（2）如圖2當=90°時，請寫出線段EA，EB，EC的數量關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，當點E在線段CD上時，若BC=，請直接寫出△BDE的面積.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）2

【解析】

（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解決問題；（2）結論：EA2=EC2+2BE2．由題意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想辦法證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解決問題；（3）首先證明AD=DE=EC，設AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解決問題；

（1）如圖①中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案為BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）結論：EA2=EC2+2BE2．
理由：如圖②中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵=， =，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=EC2+BE2，
∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如圖③中，

∵∠AED=45°，D，E，C共線，
∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，
∴DE=BD，
∵EC=BD，
∴AD=DE=EC，設AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，
∴x2+4x2=40，
∴x=2（負根已經舍棄），
∴AD=DE=2，
∴BD=BE=2，
∴S△BDE=×2×2=2．