Question

【題目】請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

在數學中，利用圖形在變化過程中的不變性質，常常可以找到解決問題的辦消去．著名美籍匈牙利數學家波利亞在他所著的《數學的發現》一書中有這樣一個例子：請問如何在一個三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點X和Y，使得AX=BY=XY．（如圖）解決這個問題的操作步驟如下：

第一步，在CA上作出一點D，使得CD=CB，連接BD．第二步，在CB上取一點Y'，作Y'Z∥CA，交BD于點Z'，并在AB上取一點A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，過點A作AZ∥A'Z'，交BD于點Z．第四步，過點Z作ZY∥AC，交BC于點Y，再過點Y作YX∥ZA，交AC于點X．

則有AX=BY=XY．

下面是該結論的部分證明：

證明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，

又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．

∴ ．

同理可得．∴．

∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．

在數學中，利用圖形在變化過程中的不變性質，常常可以找到解決問題的辦消去．著名美籍匈牙利數學家波利亞在他所著的《數學的發現》一書中有這樣一個例子：請問如何在一個三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點X和Y，使得AX=BY=XY．（如圖）解決這個問題的操作步驟如下：

第一步，在CA上作出一點D，使得CD=CB，連接BD．第二步，在CB上取一點Y'，作Y'Z∥CA，交BD于點Z'，并在AB上取一點A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，過點A作AZ∥A'Z'，交BD于點Z．第四步，過點Z作ZY∥AC，交BC于點Y，再過點Y作YX∥ZA，交AC于點X．

則有AX=BY=XY．

下面是該結論的部分證明：

證明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，

又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．

∴ ．

同理可得．∴．

∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．

任務：（1）請根據上面的操作步驟及部分證明過程，判斷四邊形AXYZ的形狀，并加以證明；

（2）請再仔細閱讀上面的操作步驟，在（1）的基礎上完成AX=BY=XY的證明過程；

（3）上述解決問題的過程中，通過作平行線把四邊形BA'Z'Y'放大得到四邊形BAZY，從而確定了點Z，Y的位置，這里運用了下面一種圖形的變化是　 　．

A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．位似

Answer 1

【答案】（1）四邊形AXYZ是菱形，證明詳見解析；（2）詳見解析；（3）D.

【解析】

（1）四邊形AXYZ是菱形．首先由“兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形”推知四邊形AXYZ是平行四邊形，再由“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得結論；

（2）利用菱形的四條邊相等推知AX=XY=YZ．根據等量代換得到AX=BY=XY．

（3）根據位似變換的定義填空．

（1）四邊形AXYZ是菱形．

證明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，

∴四邊形AXYZ是平行四邊形．

∵ZA=YZ，

∴平行四邊形AXYZ是菱形．

（2）證明：∵CD=CB，

∴∠1=∠3．

∵ZY∥AC，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴YB=YZ．

∵四邊形AXYZ是菱形，

∴AX=XY=YZ．

∴AX=BY=XY．

（3）通過作平行線把四邊形BA'Z'Y'放大得到四邊形BAZY，從而確定了點Z，Y的位置，此時四邊形BA'Z'Y'∽四邊形BAZY，所以該變換形式是位似變換．

故答案是：D（或位似）．