Question

（2013•河北）某公司在固定線路上運輸，擬用運營指數Q量化考核司機的工作業績．Q=W+100，而W的大小與運輸次數n及平均速度x（km/h）有關（不考慮其他因素），W由兩部分的和組成：一部分與x的平方成正比，另一部分與x的n倍成正比．試行中得到了表中的數據．

次數n	2	1
速度x	40	60
指數Q	420	100

（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）當x=70，Q=450時，求n的值；
（3）若n=3，要使Q最大，確定x的值；
（4）設n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同時x減少m%的情況下，而Q的值仍為420？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）根據題目所給的信息，設W=k₁x²+k₂nx，然后根據Q=W+100，列出用Q的解析式；
（2）將x=70，Q=450，代入求n的值即可；
（3）把n=3代入，確定函數關系式，然后求Q最大值時x的值即可；
（4）根據題意列出關系式，求出當Q=420時m的值即可．

解答：解：（1）設W=k₁x²+k₂nx，則Q=k₁x²+k₂nx+100，
由表中數據，得

420=402k1+2×40k2+100 100=602k1+1×60k2+100

，
解得：

k1=- 1 10 k2=6

，
∴Q=-

1

10

x²+6nx+100；

（2）將x=70，Q=450代入Q得，
450=-

1

10

70²+6×70n+100，
解得：n=2；

（3）當n=3時，Q=-

1

10

x²+18x+100=-

1

10

（x-90）²+910，
∵-

1

10

＜0，
∴函數圖象開口向下，有最大值，
則當x=90時，Q有最大值，
即要使Q最大，x=90；

（4）由題意得，420=-

1

10

[40（1-m%）]²+6×2（1+m%）×40（1-m%）+100，
即2（m%）²-m%=0，
解得：m%=

1

2

或m%=0（舍去），
∴m=50．

點評：本題考查了二次函數的應用，難度較大，解答本題的關鍵是根據題目中所給的信息，讀懂題意列出函數關系式，要求同學們掌握求二次函數最值的方法，此題較麻煩，考查學生利用數學知識解決實際問題的能力．