Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數的圖像經過原點及點A（1,2）

與x軸相交于另一點B(3,0)，將點B向右平移3個單位得點C．

(1)、求二次函數的解析式；

(2)、點M在線段OC上，平面內有一點Q，使得四邊形ABMQ為菱形，求點M坐標；

(3)、點P在線段OC上，從O點出發向C點運動，過P點作x軸的垂線，交直線AO于D點，以PD為邊在PD的右側作正方形PDEF（當P點運動時，點D、點E、點F也隨之運動）；

①當點E在二次函數的圖像上時，求OP的長；

②若點P從O點出發向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，若P點運動t秒時，直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，直接寫出此刻t的值．

Answer 1

【答案】(1)、y=-+3x；(2)、M坐標為（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；(3)、①、；②、t=或t=.

【解析】

試題分析：(1)、可設二次函數的解析式為y=a+bx+c，利用二次函數的圖象經過原點及點A（1，2），B（3，0），分別代入求出a，b，c的值即可；(2)、分M是AB的垂直平分線與x軸的交點；M在B點左邊并且BM=AB；M在B點右邊并且BM=AB；三種情況討論可得點M坐標；(3)、①過A點作AH⊥x軸于H點，根據DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進而求出OP的長；②分兩種情況討論，求出t的值即可．

試題解析：(1)、設二次函數的解析式為y=a+bx+c，

∵二次函數的圖象經過原點及點A（1，2），B（3，0），

∴，解得． 故二次函數解析式為：y=-+3x；

(2)、M是AB的垂直平分線與x軸的交點，點M坐標是（1，0）；

M在B點左邊并且BM=AB，點M坐標是（3-2，0）；

M在B點右邊并且BM=AB，點M坐標是（3+2，0）；

故點M坐標為（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；

(3)、①由已知可得C（6，0）如圖：過A點作AH⊥x軸于H點，

∵DP∥AH，∴△OPD∽△OHA，∴，即，∴PD=2a，

∵正方形PDEF，∴E（3a，2a），∵E（3a，2a）在二次函數y1=-x2+3x的圖象上，

∴a=；即OP=．

②直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，此刻t的值為：t=或t=.