Question

【題目】已知等邊△ABC和等邊△DBE，點D始終在射線AC上運動．

（1）如圖1，當點D在AC邊上時，連接CE，求證：AD＝CE；

（2）如圖2，當點D不在AC邊上而在AC邊的延長線上時，連接CE，（1）中的結論是否成立，并給予證明．

（3）如圖3，當點D不在AC邊上而在AC邊的延長線上時，如果以BD為斜邊作Rt△BDE，且∠BDE＝30°，連接CE并延長，與AB的延長線交于F點，求證：AD＝BF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結論成立，證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）欲證明AD=CE，只要證明△ABD≌△CBE即可．
（2）如圖2中，倍長BE到H，連CH，DH．首先證明△DBH是等邊三角形，由（1）可知，△ABD≌△CBH，推出AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，推出BF∥CH，推出∠F=∠ECH，再證明△EBF≌△EHC，推出BF=CH，由此即可證明．
（3）如圖2中，倍長BE到H，連CH，DH．利用（1）中結論可得AD=CH，再證明BF=CH即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，

∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，

∴∠ABD＝∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴AD＝CE．

（2）如圖2中，

∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，

∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，

∴∠ABD＝∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴AD＝CE．

（3）如圖2中，倍長BE到H，連CH，DH．

∵BE＝EH，DE⊥BH，

∴DB＝DH，∠BDE＝∠HDE＝30°，

∴∠BDH＝60°，

∴△DBH是等邊三角形，

由（1）可知，△ABD≌△CBH，

∴AD＝CH，∠A＝∠HCB＝∠ABC＝60°，

∴BF∥CH，

∴∠F＝∠ECH，

在△EBF和△EHC中，

，

∴△EBF≌△EHC（AAS），

∴BF＝CH，

∴AD＝BF．