Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+c與x軸相交于A、B兩點（B點在A點的左側），與y軸相交于C點，且AB=10．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖2，D點在x軸上，且在A點的右側，E點為拋物線上第二象限內的點，連接ED交拋物線于第二象限內的另外一點F，點E到y軸的距離與點F到y軸的距離之比為3：1，已知tan∠BDE= ，求點E的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點G由B出發，沿x軸負方向運動，連接EG，點H在線段EG上，連接DH，∠EDH=∠EGB，過點E作EK⊥DH，與拋物線相應點E，若EK=EG，求點K的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由y=﹣ x2﹣ x+c，

可得對稱軸為x=﹣4

∵AB=10，

∴點A的坐標為（1，0），

∴ ，

∴c=3

∴拋物線的解析式為y=﹣ +3．

（2）解：如圖2，作EM⊥x軸，垂足為點M，FN⊥x軸，垂足為點N，FT⊥EM，垂足為點T．

∴∠TMN=∠FNM=∠MTF=90°，

∴四邊形FTMN為矩形，

∴EM∥FN，FT∥BD．

∴∠BDE=∠EFT，

∵tan∠BDE= ，

∴tan∠EFT= ，

設E（﹣3m，yE），F（﹣m，yF）

∴

∵y=﹣ +3過點E、F，

則yE﹣yF= =（﹣3m2+8m+3）﹣（﹣ +3），

解得m=0（舍去）或m=1，

當m=1時，﹣3m=﹣3，

∴ =8．

∴E（﹣3，8）

（3）解：如圖3，作EM⊥x軸，垂足為點M，過點K作KR⊥ED，與ED相交于點R，與x軸相交于點Q．

∵∠KER+∠EDH=90°，∠EGM+∠GEM=90°，∠EDH=∠EGM，

∴∠KER=∠GEM，

在△EGM和△EKR中，

∴△EGM≌△EKR，

∴EM=ER=8，

∵tan∠BDE= ．

∴ED=10，

∴DR=2，

∴DQ=

∴Q（﹣ ，0），

可求R（ ， ）

∴直線RQ的解析式為：y= ．

設點K的坐標為（x， ）代入拋物線解析式可得x=﹣11

∴K（﹣11，﹣8）．

【解析】（1）利用拋物線的軸對稱性，求出對稱軸，結合AB=10，求出A點坐標代入即可；（2）設出E的橫坐標，表示 出E、F的縱坐標，利用tan∠BDE的定義構建關于m的方程，求出E的坐標；（3）通過作垂線構造出全等三角形，即△EGM≌△EKR，求出直線RQ解析式，解出二者聯立的方程組， 即可求出其與拋物線交點坐標.