Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與軸交于點(diǎn)．

⑴.求拋物線的解析式；

⑵.如圖1，連接,點(diǎn)是線段上方拋物線上的一動點(diǎn)，于點(diǎn)；過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn).點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，當(dāng) 取最大值時(shí)．

①.求的最小值；

②.如圖2，點(diǎn)是軸上一動點(diǎn),請直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法，把A,B兩點(diǎn)代入解析式即可求出．

（2）利用配方法求出M點(diǎn)，求出直線AM的解析式，從而可以得出經(jīng)過點(diǎn)E且與直線AM平行的直線 解析式，再根據(jù)當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，EF取最大值，利用根的判別式可求出E點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)當(dāng)P,B,D三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PC有最小值，利用勾股定理即可求出．

（3）利用添加輔助線，對線段OQ進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)三點(diǎn)共線求出最小值．

1）將A（-3,0）、B（1,0）代入二次函數(shù)得，

解之得，∴二次函數(shù)的解析式為；

（2）①將二次函數(shù)配方得，

∴M（-1,4）

設(shè)直線AM的解析式為，將代入直線可得，

解得，

∴直線AM的解析式為，

過E作直線，平行于直線AM，且解析式為，

∵E在直線AM上方的拋物線上，

∴；

當(dāng)直線與AM距離最大時(shí)，EF取得最大值，

∴當(dāng)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，EF取得最大值，

將直線的解析式代入拋物線得，

由題意可得，△=，經(jīng)計(jì)算得，將代入二次方程可得，

，

∴，即E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，將代入拋物線得，

∴，

又∵⊥軸，

∴，將代入直線AM，

∴，

∵，

∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，

∴，

∴，當(dāng)P、B、D三點(diǎn)不共線時(shí)，

當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，，

∴當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)PC+PD取得最小值，

在Rt△BHD中。DH=2，BH=3，∴BD=，

∴的最小值為；

②過Q作直線平行于軸，并在軸右側(cè)該直線上取一點(diǎn)G，使得，

QG=，

∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，

DQ+QG取得最小值，設(shè)Q（0，y），則，

∵QG∥軸，

∴，

∴，

∴的最小值為．

【點(diǎn)晴】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，利用待定系數(shù)求解析式，根的判別式求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線求最值的問題．