Question

【題目】小明與同學們在數學動手實踐操作活動中，將銳角為的直角三角板MPN的一個銳角頂點P與正方形ABCD的頂點A重合，正方形ABCD固定不動，然后將三角板繞著點A旋轉，的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其延長線相交于點E、F，連結EF．

（探究發現）

在三角板旋轉過程中，當的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時，如圖所示，請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數量關系：______．

（拓展思考）

在三角板旋轉過程中，當的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長線相交時，如圖所示，則線段BE、DF、EF又將滿足怎樣的數量關系：______，并證明你的結論；

（創新應用）

若正方形的邊長為4，在三角板旋轉過程中，當的一邊恰好經過BC邊的中點時，試求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2），見解析；（3）或.

【解析】

延長FD至G，使，連接AG，先證≌，再證≌即可；

在DC上截取，連接AH，先證≌，再證≌△EAF即可；

分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：結論：．

理由：延長FD至G，使，連接AG，如圖，

是正方形，

，，

≌，

，，

，

，

，

，

，

≌，

，

，

即：．

故答案為：．

結論：．

理由：在DC上截取，連接AH，如圖，

，，

≌，

，，

，

，

，

，

≌，

，

，

．

故答案為：．

當MA經過BC的中點E時，由（1）（2）可知：設，則，．

在中，，

，

．

當NA經過BC的中點G時，由（1）（2）可知：設，則，，

，，

由勾股定理得到：，

，

．