Question

【題目】如圖，拋物線的頂點為C，對稱軸為直線，且經過點A(3,－1)，與y軸交于點B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）經過點A的直線交拋物線于點P，交x軸于點Q，若，試求出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3）點P的坐標為、、或

【解析】分析：（1）利用待定系數法，聯立方程組即可解得；（2）利用解析式，可得B（0,2），C（1,3），再由A（3，-1），求出AB,AC,BC ，利用勾股定理的逆定理即可得出結果；（3）分兩種情況討論：當點Q在線段AP上時，當點Q在PA延長線上時，可得點P的坐標.

本題解析：

(1)由題意得：， 解得：

∴拋物線的解析式為

（2）由得：當時，y=2.，∴，由得，

∵A(3,－1)，∴,∴

∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.

（3）①如圖，當點Q在線段AP上時，過點P作PE⊥x軸于點E，AD⊥x軸于點D

∵,∴PA=2AQ，∴PQ=AQ

∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,

∴,∴PE=AD=1

由得：

∴P或

②如圖，當點Q在PA延長線上時，過點P作PE⊥x軸于點E，AD⊥x軸于點D

∵,∴PA=2AQ，∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,

∴,∴PE=3AD=3

由得：，∴P或.

綜上可知：點P的坐標為、、或