Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D. 下列結論：①AD是∠BAC的平分線；②點D在AB的垂直平分線上；③∠ADC=60°；④。其中正確的結論有（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；

②利用等角對等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點D在AB的垂直平分線上；

③利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質來求∠ADC的度數；

④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三角形的面積之比．

解：如圖：

根據作圖方法可得AD是∠BAC的平分線，故①正確；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAC=∠DAB=30°，

∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴點D在AB的中垂線上，故②正確；
∴∠ADC=60°，故③正確；
∵∠CAD=30°，

∵AD=DB，

∴

故④正確。

故選：D．