Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三角形的角平分線CE和高AD相交于點F，過F作FG∥BC交AB于點G，求證：（1）AE=BG．（2）若∠B=30°，FD=5，求四邊形EBDF的面積．

Answer 1

分析：（1）過F作FM⊥AC并延長MF交BC于N，判定四邊形GBDF為平行四邊形，進而證明△AMF≌△NDF，得出AE=BG；
（2）根據S_四EBDF=S_△ABC-S_△AEC-S_△CDF，進而求出幾個三角形的面積，從而得出答案．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠1+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵CE是角平分線，
∴∠2=∠3，
∵∠5=∠1+∠2，∠4=∠3+∠B，
∴∠4=∠5，
∴AE=AF，
過F作FM⊥AC并延長MF交BC于N，
∴MN∥AB，
∵FG∥BD，
∴四邊形GBNF為平行四邊形，
∴GB=FN，
∵AD⊥BC，CE為角平分線，
∴FD=FM，
在Rt△AMF和Rt△NDF中

∠AMF=∠NDF=90° FM=FD ∠6=∠7

，
∴△AMF≌△NDF，
∴AF=FN，
∴AE=BG；

（2）解：∵∠B=30°，AB∥NF，
∴∠8=30°，
在Rt△FDN中，FN=2FD=10，
∴AF=AE=BG=FN=10，
∴∠BAD=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴EF=AE=10，
∵GF∥BC，
∴∠EGB=∠B=30°，
∠4=∠9+∠10=60°，
∴∠9=∠10=30°，
EG=EF=10，
在Rt△ABC中，tan30°=

AC

AB

=

AC

30

=

3

3

，
∴AC=10

3

，∠2=30°，
在Rt△CDF中，tan∠3=

FD

CD

=

5

CD

=

3

3

，
∴CD=5

3

，
∴S_四EBDF=S_△ABC-S_△AEC-S_△CDF=

1

2

×30×10

3

-

1

2

×10×10

3

-

1

2

×5×5

3

=

175 3

2

．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質與判定以及全等三角形的性質與判定以及三角函數的應用等知識，題目綜合性較強，四邊形面積求法利用三角形之間的差求出是解決問題的關鍵．