Question

以[x]表x的整數部分，即不大于x的最大整數．例如[3.4]=3，[-3.4]=-4．方程9x²-8[x]=1的所有有理數根是

 

．

Answer 1

分析：由取整函數的性質得出8x≥8[x]=9x²-1，從得出不等式，進而得出不等式的解集，在分區間分析得出符合要求的取值．

解答：解：由[x]的定義，可得8x≥8[x]=9x²-1，
所以9x²-8x-1≤0，
（x-1）（9x+1）≤0，
解此不等式得：-

1

9

≤x≤1．
現把x的取值范圍分成：2個小區間（分類）來進行求解．
（1）當-

1

9

≤x＜0時，沒有符合要求的x的值；
（2）當0≤x＜1時，原方程為9x²=1，
解得x=±

1

3

，（x=-

1

3

不在-

1

9

≤x≤0范圍內舍去）；
（3）當x=1時，原方程為9x²=9，
解得：x=1，
∴方程9x²-8[x]=1的所有有理數根是1，

1

3

．
故答案為：1，

1

3

．

點評：此題主要考查了取整函數的性質，得出9x²-8x-1≤0，的解集是難點，可以結合而此函圖象判斷出，利用數形結合解決數學問題是解題中經常用到的一種方法．