Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）30°（3）

【解析】

試題分析：（1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°，即可證明BC是⊙O的切線；

（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數；

（3）過點C作CG⊥BE于G，根據等腰三角形的性質得到EG=BE=5，由兩角相等的三角形相似，△ADE∽△CGE，利用相似三角形對應角相等得到sin∠ECG=sinA=，在Rt△ECG中，利用勾股定理求出CG的長，根據三角形相似得到比例式，代入數據即可得到結果．

試題解析：（1）連接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，

∴∠OBA+∠ABC=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）如圖1，連接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

∴∠AOF=60°，

∴∠ABF=∠AOF=30°；

（3）如圖2，過點C作CG⊥BE于G，

∵CE=CB，

∴EG=BE=5，

∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，

∴∠GCE=∠A，

∴△ADE∽△CGE，

∴sin∠ECG=sinA=，即CE=13，

在Rt△ECG中，

∵CG==12，

∵CD=15，CE=13，

∴DE=2，

∵△ADE∽△CGE，

∴，

∴AD=，CG=，

∴⊙O的半徑OA=2AD=．