Question

【題目】在平面直角坐標系中，函數的圖像記為，函數的圖像記為，其中為常數，且，圖像、，合起來得到的圖像標記為.

（1）求圖像與軸的交點坐標.

（2）當圖像的最低點到軸距離為3時，求的值.

（3）當時，若點在圖像上，求的值.

（4）點、的坐標分別為、，連接與圖像有兩個交點時的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）；（3）或；（4），，．

【解析】

（1）令M1的函數值等于0，即求出x的兩個解，取正數解．

（2）因為提到“最低點”，所以函數圖象M1對應的拋物線開口向上，a＞0，令頂點縱坐標=3即求出a的值．

（3）把點在圖象M1或圖象M2進行分類討論，把a=1和y=-代入解析式即求出m的值．

（4）把a＞0和a＜0時圖象M的大致草圖畫出，根據圖象觀察和計算說明線段PQ所在位置對交點個數的影響，得到a的范圍．

（1）當ax2-2ax-4a=0時，

∵a≠0，

∴x2-2x-4=0

解得：x1=1+，x2=1-

∵x≥0，

∴圖象M1與x軸的交點坐標為（1+，0）

（2）∵y=ax2-2ax-4a=a（x-1）2-5a，且圖象M1的最低點到x軸距離為3

∴a＞0，

∴|-5a|=3，即-5a=-3

∴a=

（3）當a=1時，點（m，）在圖象M上，

①若點在圖象M1上，即m≥0，m22m4＝

解得：m1=1+，m2=1-（舍去）

②若點在圖象M2上，即m＜0，m22m+4＝

解得：m3=-1+（舍去），m4=-1-

綜上所述，m的值為1+或-1-

（4）若a＞0，則圖象M的大致形狀如圖1，

①若線段PQ經過圖象M1的頂點（1，-5a）

則-5a=-1，得a=

對于圖象M2，-x2-x+=-1時，解得：x1=-1+（舍去），x2=-1-

∵-1-＞-5

∴直線PQ與圖象M2的交點在點P的右側

∴線段PQ與圖象M2有一個交點

∴a=時，線段PQ與圖象M有兩個交點

②若線段PQ比圖象M1與y軸交點高時，如圖2，

則-4a＜-1，解得：a＞

若a＜0，則圖象M的大致形狀如圖3，

③若線段PQ經過M2與y軸交點時，4a=-1 得a=，

對于圖象M1，-x2+x+1=-1時，解得：x1=-2（舍去），x2=4，

即此時線段PQ與圖象M1交點為Q（4，-1），

∴當線段PQ比圖象M2與y軸交點低時，與圖象M2有兩個交點，與圖象M1沒有交點，

最低不得低過圖象M2的頂點（-1，5a），

∴5a＜-1，

解得：a＜，

綜上所述，線段PQ與圖象M有兩個交點時，a=或a＞或a＜.